• Формулы сокращенного умножения с рациональным показателем. Формулы сокращённого умножения

    Формулы сокращенного умножения. Тренировка.

    Попробуй таким способом вычислить следующие выражения:

    Ответы:

    Либо, если ты знаешь квадраты основных двухзначных чисел, вспомни, сколько будет? Вспомнил? . Отлично! Так как мы возводим в квадрат, то мы должны умножить на. Получается, что.

    Помни, что формулы квадрат суммы и квадрат разности справедливы не только для числовых выражений:

    Посчитай самостоятельно следующие выражения:

    Ответы:

    Формулы сокращенного умножения. Итог.

    Подведем небольшой итог и запишем формулы квадрата суммы и разности в одну строку:

    Теперь потренируемся «собирать» формулу из разложенного вида в вид. Данный навык понадобится нам в дальнейшем при преобразовании больших выражений.

    Допустим, у нас есть следующее выражение:

    Мы знаем, что квадрат суммы (или разности) - это квадрат одного числа квадрат другого числа и удвоенное произведение этих чисел .

    В данной задаче легко увидеть квадрат одного числа - это. Соответственно, одно из чисел, входящих в скобку, - это квадратный корень из, то есть

    Так как во втором слагаемом есть, значит, это удвоенное произведение одного и другого числа, соответственно:

    Где - второе число, входящее в нашу скобку.

    Второе число, входящее в скобку, равно.

    Проверим. должно быть равно. Действительно так и есть, значит, мы нашли оба числа, присутствующие в скобках: и. Осталось определить знак, который стоит между ними. Как ты думаешь, что за знак там будет?

    Правильно! Так как мы прибавляем удвоенное произведение, то между числами будет стоять знак сложения. Теперь запиши преобразованное выражение. Справился? У тебя должно получиться следующее:

    Заметь: перемена мест слагаемых не сказывается на результате (неважно, сложение или вычитание стоит между и).

    Совершенно необязательно, чтобы слагаемые в преобразуемом выражении стояли так, как написано в формуле. Посмотри на это выражение: . Попробуй преобразовать его самостоятельно. Получилось?

    Потренируйся - преобразуй следующие выражения:

    Ответы: Справился? Закрепим тему. Выбери из приведенных ниже выражений те, которые можно представить в виде квадрата суммы или разности.

    1. - докажи, что это равносильно.
    1. - нельзя представить как квадрат; можно было бы представить, если вместо было.

    Разность квадратов

    Еще одна формула сокращенного умножения - разность квадратов.

    Разность квадратов это не квадрат разности!

    Разность квадратов двух чисел равна произведению суммы этих чисел на их разность:

    Проверим, верна ли эта формула. Для этого перемножим, как делали при выведении формул квадрата суммы и разности:

    Таким образом, мы только что удостоверились, что формула действительно верная. Данная формула также упрощает сложные вычислительные действия. Приведем пример:

    Необходимо вычислить: . Конечно, мы можем возвести в квадрат, затем возвести в квадрат и вычесть одно из другого, но формула упрощает нам задачу:

    Получилось? Сверим результаты:

    Так же как и квадрат суммы (разности), формула разности квадратов может применяться не только с числами:

    Умение раскладывать разность квадратов поможет нам преобразовывать сложные математические выражения.

    Обрати внимание:

    Поскольку, при разложении на квадрат разности правого выражения мы получим

    Будь внимателен и смотри, какое конкретное слагаемое возводится в квадрат! Для закрепления темы преобразуй следующие выражения:

    Записал? Сравним полученные выражения:

    Теперь, когда ты усвоил квадрат суммы и квадрат разности, а также разность квадратов, попробуем решать примеры на комбинацию этих трех формул.

    Преобразование элементарных выражений (квадрат суммы, квадрат разности, разность квадратов)

    Допустим, нам дан пример

    Необходимо упростить данное выражение. Посмотри внимательно, что ты видишь в числителе? Правильно, числитель - это полный квадрат:

    Упрощая выражение, помни, что подсказка, в какую сторону двигаться в упрощении, находится в знаменателе (или в числителе). В нашем случае, когда знаменатель разложен, и больше ничего сделать нельзя, можно понять, что числителем будет либо квадрат суммы, либо квадрат разности. Так как мы прибавляем, то становится ясно, что числитель - квадрат суммы.

    Попробуй самостоятельно преобразовать следующие выражения:

    Получилось? Сравниваем ответы и двигаемся дальше!

    Куб суммы и куб разности

    Формулы куб суммы и куб разности выводятся аналогичным образом, как квадрат суммы и квадрат разности : раскрытием скобок при перемножении членов друг на друга.

    Если квадрат суммы и квадрат разности запомнить весьма легко, то возникает вопрос «как запомнить кубы?»

    Посмотри внимательно на две описываемые формулы в сравнении с возведением аналогичных членов в квадрат:

    Какую ты видишь закономерность?

    1. При возведении в квадрат у нас есть квадрат первого числа и квадрат второго; при возведении в куб - есть куб одного числа и куб другого числа.

    2. При возведении в квадрат , у нас есть удвоенное произведение чисел (числа в 1 степени, что на одну степень меньше чем та, в которую возводим выражение); при возведении в куб - утроенное произведение, при котором одно из чисел возводится в квадрат (что так же на 1 степень меньше, чем степень, в которую возводим выражение).

    3. При возведении в квадрат знак в скобках в раскрытом выражении отражается при прибавлении (или вычитании) удвоенного произведения - если в скобках сложение, то прибавляем, если вычитание - отнимаем; при возведении в куб правило такое: если у нас куб суммы, то все знаки «+», а если куб разности, то знаки чередуются: « » - « » - « » - « ».

    Всё перечисленное, кроме зависимости степеней при умножении членов, изображено на рисунке.

    Потренируемся? Раскрой скобки в следующих выражениях:

    Сравни полученные выражения:

    Разность и сумма кубов

    Рассмотрим последнюю пару формул разность и сумму кубов.

    Как мы помним, в разности квадратов у нас идет перемножение разности и суммы данных чисел одно на другое. В разности кубов и в сумме кубов также имеется две скобки:

    1 скобка - разность (или сумма) чисел в первой степени (в зависимости от того, разность или сумму кубов мы раскрываем);

    2 скобка - неполный квадрат (присмотрись: если бы мы вычитали (или прибавляли) удвоенное произведение чисел, был бы квадрат), знак при перемножении чисел противоположный знаку изначального выражения.

    Для закрепления темы решим несколько примеров:

    Сравни полученные выражения:

    Тренировка

    Ответы:

    Подведем итоги:

    Существует 7 формул сокращенного умножения:

    ПРОДВИНУТЫЙ УРОВЕНЬ

    Формулы сокращенного умножения - это формулы, зная которые можно избежать выполнения некоторых стандартных действий при упрощении выражений или разложении многочленов на множители. Формулы сокращенного умножения нужно знать наизусть!

    1. Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения:
    2. Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения:
    3. Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений и их суммы:
    4. Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения:
    5. Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения:
    6. Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы первого и второго выражения на неполный квадрат разности этих выражений:
    7. Разность кубов двух выражений равна произведению разности первого и второго выражения на неполный квадрат суммы этих выражений:

    Теперь докажем все эти формулы.

    Формулы сокращенного умножения. Доказательство.

    1. .
    Возвести выражение в квадрат - значит умножить его само на себя:
    .

    Раскроем скобки и приведем подобные:

    2. .
    Делаем то же самое: умножаем разность саму на себя, раскрываем скобки и приводим подобные:
    .

    3. .
    Возьмем выражение в правой части и раскроем скобки:
    .

    4. .
    Число в кубе можно представить как это число умноженное на свой квадрат:

    Аналогично:

    В разности кубов знаки чередуются.

    6. .

    .

    7. .
    Раскроем скобки в правой части:
    .

    Применение формул сокращенного умножения при решении примеров

    Пример 1:

    Найдите значение выражений:

    Решение:

    1. Используем формулу квадрат суммы: .
    2. Представим это число в виде разности и используем формулу квадрата разности: .

    Пример 2:

    Найдите значение выражения: .

    Решение:

    Используя формулу разности квадратов двух выражений, получим:

    Пример 3:

    Упростите выражение:

    Решение двумя способами:

    Воспользуемся формулами квадрат суммы и квадрат разности:

    II способ.

    Воспользуемся формулой разности квадратов двух выражений:

    ТЕПЕРЬ ТВОЕ СЛОВО...

    Я рассказал все, что знаю о формулах сокращенного умножения.

    Расскажи теперь ты будешь ли ты ими пользоваться? Если нет, то почему?

    Как тебе эта статья?

    Возможно у тебя есть вопросы. Или предложения.

    Напиши в комментариях. Мы читаем все комментарии и отвечаем на все.

    И удачи на экзаменах!

    При расчёте алгебраических многочленов для упрощения вычислений используются формулы сокращенного умножения . Всего таких формул семь. Их все необходимо знать наизусть.

    Следует также помнить, что вместо «a » и «b » в формулах могут стоять как числа, так и любые другие алгебраические многочлены.

    Разность квадратов

    Запомните!

    Разность квадратов двух чисел равна произведению разности этих чисел и их суммы.

    a 2 − b 2 = (a − b)(a + b)
    • 15 2 − 2 2 = (15 − 2)(15 + 2) = 13 · 17 = 221
    • 9a 2 − 4b 2 с 2 = (3a − 2bc)(3a + 2bc)

    Квадрат суммы

    Запомните!

    Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа.


    (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

    Обратите внимание, что с помощью этой формулы сокращённого умножения легко находить квадраты больших чисел , не используя калькулятор или умножение в столбик. Поясним на примере:

    Найти 112 2 .

    • Разложим 112 на сумму чисел, чьи квадраты мы хорошо помним.
      112 = 100 + 1
    • Запишем сумму чисел в скобки и поставим над скобками квадрат.
      112 2 = (100 + 12) 2
    • Воспользуемся формулой квадрата суммы:
      112 2 = (100 + 12) 2 = 100 2 + 2 · 100 · 12 + 12 2 = 10 000 + 2 400 + 144 = 12 544

    Помните, что формула квадрат суммы также справедлива для любых алгебраических многочленов.

    • (8a + с) 2 = 64a 2 + 16ac + c 2

    Предостережение!

    (a + b) 2 не равно (a 2 + b 2)

    Квадрат разности

    Запомните!

    Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго числа.


    (a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2

    Также стоит запомнить весьма полезное преобразование:

    (a − b) 2 = (b − a) 2

    Формула выше доказывается простым раскрытием скобок:

    (a − b) 2 = a 2 −2ab + b 2 = b 2 − 2ab + a 2 = (b − a) 2

    Куб суммы

    Запомните!

    Куб суммы двух чисел равен кубу первого числа плюс утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго плюс куб второго.


    (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

    Как запомнить куб суммы

    Запомнить эту «страшную» на вид формулу довольно просто.

    • Выучите, что в начале идёт «a 3 ».
    • Два многочлена посередине имеют коэффициенты 3 .
    • Вспомним, что любое число в нулевой степени есть 1 . (a 0 = 1, b 0 = 1) . Легко заметить, что в формуле идёт понижение степени «a » и увеличение степени «b ». В этом можно убедиться:
      (a + b) 3 = a 3 b 0 + 3a 2 b 1 + 3a 1 b 2 + b 3 a 0 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

    Предостережение!

    (a + b) 3 не равно a 3 + b 3

    Куб разности

    Запомните!

    Куб разности двух чисел равен кубу первого числа минус утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго минус куб второго.


    (a − b) 3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3

    Запоминается эта формула как и предыдущая, но только с учётом чередования знаков «+ » и «− ». Перед первым членом «a 3 » стоит «+ » (по правилам математики мы его не пишем). Значит, перед следующим членом будет стоять «− », затем опять «+ » и т.д.

    (a − b) 3 = + a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3

    Сумма кубов

    Не путать с кубом суммы!

    Запомните!

    Сумма кубов равна произведению суммы двух чисел на неполный квадрат разности.

    a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 − ab + b 2)

    Сумма кубов — это произведение двух скобок.

    • Первая скобка — сумма двух чисел.
    • Вторая скобка — неполный квадрат разности чисел. Неполным квадратом разности называют выражение:
      (a 2 − ab + b 2)
      Данный квадрат неполный, так как посередине вместо удвоенного произведения обычное произведение чисел.

    Разность кубов

    Не путать с кубом разности!

    Запомните!

    Разность кубов равна произведению разности двух чисел на неполный квадрат суммы.

    a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2)

    Будьте внимательны при записи знаков.

    Применение формул сокращенного умножения

    Следует помнить, что все формулы, приведённые выше, используется также и справа налево.

    Многие примеры в учебниках рассчитаны на то, что вы с помощью формул соберёте многочлен обратно.

    • a 2 + 2a + 1 = (a + 1) 2
    • (aс − 4b)(ac + 4b) = a 2 c 2 − 16b 2

    Таблицу со всеми формулами сокращённого умножения вы можете скачать в разделе «

    Умножение многочлена на многочлен

    ! Чтобы умножить многочлен на многочлен , нужно каждое слагаемое одного многочлена умножить на каждое слагаемое другого многочлена и полученные произведения сложить.

    Будьте внимательны! У каждого слагаемого есть свой знак.

    Формулы сокращённого умножения многочленов - это, как правило, 7 (семь) часто встречающихся случаев умножения многочленов.

    Определения и Формулы сокращенного умножения. Таблица

    Таблица 2. Определения формул сокращенного умножения (нажмите для увеличения)

    Три формулы сокращенного умножения для квадратов

    1. Формула квадрата суммы.

    Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

    Чтобы лучше понять формулу, сначала упростим выражение (развернем формулу квадрата суммы)

    А теперь разложим на множители (свернем формулу)

    Последовательность действий при разложении на множители:

    1. определи, какие одночлены возводились в квадрат (5 и 3m );
    2. проверь, стоит ли в середине формулы их удвоенное произведение (2 5 3m = 30m );
    3. запиши ответ (5 + 3m) 2 .

    2. Формула квадрата разности

    Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

    Сначала упростим выражение (развернем формулу):

    А потом наоборот, разложим на множители (свернем формулу):

    3. Формула разности квадратов

    Произведение суммы двух выражений на их разность равно разности квадратов этих выражений.

    Свернем формулу (выполним умножение)

    А теперь развернем формулу (разложим на множители)

    Четыре формулы сокращенного умножения для кубов

    4. Формула куба суммы двух чисел

    Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.

    Последовательность действий при «сворачивании» формулы:

    1. найти одночлены, которые возводились в куб (здесь 4х и 1 );
    2. проверить средние слагаемые на соответствие формуле;
    3. записать ответ.

    5. Формула куба разности двух чисел

    Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.

    6. Формула суммы кубов

    Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы первого и второго выражения на неполный квадрат разности этих выражений.

    И обратно:

    7. Формула разности кубов

    Разность кубов двух выражений равна произведению разности первого и второго выражения на неполный квадрат суммы этих выражений.

    Применение формул сокращенного умножения. Таблица

    Пример использования формул на практике (устный счет).

    Задача: Найти площадь квадрата со стороной а = 71 см.

    Решение: S = a 2 . Используя формулу квадрата суммы, имеем

    71 2 = (70 + 1) 2 = 70 2 + 2*70*1 + 1 2 = 4900 + 140 + 1 = 5041 см 2

    Ответ: 5041 см 2

    При и т.д. Ниже мы рассмотрим наиболее популярные формулы и разберем как они получаются.

    Квадрат суммы

    Пусть у нас возводиться в квадрат сумма двух одночленов, вот так: \((a+b)^2\). Возведение в квадрат – это умножение числа или выражения само на себя, то есть, \((a+b)^2=(a+b)(a+b)\). Теперь мы можем просто раскрыть скобки, перемножив их как делали это , и привести подобные слагаемые. Получаем:

    А если мы опустим промежуточные вычисления и запишем только начальное и конечное выражения, получим окончательную формулу:

    Квадрат суммы: \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)

    Большинство учеников учат ее наизусть. А вы теперь знаете, как эту формулу вывести, и если вдруг забудете – всегда можете это сделать.
    Хорошо, но как ей пользоваться и зачем эта формула нужна? Квадрат суммы позволяет быстро писать результат возведения суммы двух слагаемых в квадрат. Давайте посмотрим на примере.

    Пример . Раскрыть скобки: \((x+5)^2\)
    Решение :


    Обратите внимание, насколько быстрее и меньшими усилиями получен результат во втором случае. А когда вы эту и другие формулы освоите до автоматизма – будет еще быстрее: вы сможете просто сразу же писать ответ. Поэтому они и называются формулы СОКРАЩЕННОГО умножения. Так что, знать их и научиться применять – точно стоит.

    На всякий случай отметим, что в качестве \(a\) и \(b\) могут быть любые выражения – принцип остается тем же. Например:


    Если вы вдруг не поняли какие-то преобразования в двух последних примерах – повторите и тему .

    Пример . Преобразуйте выражение \((1+5x)^2-12x-1 \) в стандартного вида.

    Решение :

    Ответ: \(25x^2-2x\).

    Важно! Необходимо научиться пользоваться формулами не только в «прямом», но и в «обратном» направлении.

    Пример . Вычислите значение выражения \((368)^2+2·368·132+(132)^2\) без калькулятора.

    Решение :

    Ответ: \(250 000\).

    Квадрат разности

    Выше мы нашли формулу для суммы одночленов. Давайте теперь найдем формулу для разности, то есть, для \((a-b)^2\):

    В более краткой записи имеем:

    Квадрат разности: \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)

    Применяется она также, как и предыдущая.

    Пример . Упростите выражение \((2a-3)^2-4(a^2-a)\) и найдите его значение при \(a=\frac{17}{8}\).

    Решение :

    Ответ: \(8\).

    Разность квадратов

    Итак, мы разобрались с ситуациями произведения двух скобок с плюсом в них и двух скобок с минусом. Остался случай произведения одинаковых скобок с разными знаками. Смотрим, что получится:

    Получили формулу:

    Разность квадратов \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)

    Эта формула одна из наиболее часто применяемых при и работе с .

    Пример . Сократите дробь \(\frac{x^2-9}{x-3}\) .

    Решение :

    Ответ: \(x+3\).

    Пример .Разложите на множители \(25x^4-m^{10} t^6\).
    Решение :

    Это три основные формулы, знать которые нужно обязательно ! Есть еще формулы с кубами (см. выше), их тоже желательно помнить либо уметь быстро вывести. Отметим также, что в практике часто встречаются сразу несколько таких формул в одной задаче – это нормально. Просто приучайтесь замечать формулы и аккуратно применяйте их, и все будет хорошо.

    Пример (повышенной сложности!) .Сократите дробь .
    Решение :

    \(\frac{x^2-4xy-9+4y^2}{x-2y+3}\) \(=\)

    На первый взгляд тут тихий ужас и сделать с ним ничего нельзя (вариант «лечь и помереть» всерьез не рассматриваем).
    Однако давайте попробуем поменять два последних слагаемых числителя местами и добавим скобки (просто для наглядности).

    \(\frac{(x^2-4xy+4y^2)-9}{x-2y+3}\) \(=\)

    Теперь немного преобразуем слагаемые в скобке:
    \(4xy\) запишем как \(2·x·2y\),
    а \(4y^2\) как \((2y)^2\).

    \(\frac{(x^2-4xy+(2y)^2)-9}{x-2y+3}\) \(=\)

    Теперь приглядимся – и заметим, что в скобке у нас получилась формула квадрата разности, у которой \(a=x\), \(b=2y\). Сворачиваем по ней к виду скобки в квадрате. И одновременно представляем девятку как \(3\) в квадрате.

    \(\frac{(x-2y)^2-3^2}{x-2y+3}\) \(=\)

    Еще раз внимательно смотрим на числитель… думаем… думаем… и замечаем формулу разности квадратов, у которой \(a=(x-2y)\), \(b=3\). Раскладываем по ней к произведению двух скобок.

    \(\frac{(x-2y-3)(x-2y+3)}{x-2y+3}\) \(=\)

    И вот теперь сокращаем вторую скобку числителя и весь знаменатель.

    Готов ответ.

    Формулы сокращенного умножения (ФСУ) применяются для возведения в степень и умножения чисел и выражений. Часто эти формулы позволяют произвести вычисления более компактно и быстро.

    В данной статье мы перечислим основные формулы сокращенного умножения, сгруппируем их в таблицу, рассмотрим примеры использования этих формул, а также остановимся на принципах доказательств формул сокращенного умножения.

    Впервые тема ФСУ рассматривается в рамках курса "Алгебра" за 7 класс. Приведем ниже 7 основных формул.

    Формулы сокращенного умножения

    1. формула квадрата суммы: a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
    2. формула квадрата разности: a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2
    3. формула куба суммы: a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
    4. формула куба разности: a - b 3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3
    5. формула разности квадратов: a 2 - b 2 = a - b a + b
    6. формула суммы кубов: a 3 + b 3 = a + b a 2 - a b + b 2
    7. формула разности кубов: a 3 - b 3 = a - b a 2 + a b + b 2

    Буквами a, b, c в данных выражениях могут быть любые числа, переменные или выражения. Для удобства использования лучше выучить семь основных формул наизусть. Сведем их в таблицу и приведем ниже, обведя рамкой.

    Первые четыре формулы позволяют вычислять соответственно квадрат или куб суммы или разности двух выражений.

    Пятая формула вычисляет разность квадратов выражений путем произведения их суммы и разности.

    Шестая и седьмая формулы - соответственно умножение суммы и разности выражений на неполный квадрат разности и неполный квадрат суммы.

    Формула сокращенного умножения иногда еще называют тождествами сокращенного умножения. В этом нет ничего удивительного, так как каждое равенство представляет собой тождество.

    При решении практических примеров часто используют формулы сокращенного умножения с переставленными местами левыми и правыми частями. Это особенно удобно, когда имеет место разложение многочлена на множители.

    Дополнительные формулы сокращенного умножения

    Не будем ограничиваться курсом 7 класса по алгебре и добавим в нашу таблицу ФСУ еще несколько формул.

    Во-первых, рассмотрим формулу бинома Ньютона.

    a + b n = C n 0 · a n + C n 1 · a n - 1 · b + C n 2 · a n - 2 · b 2 + . . + C n n - 1 · a · b n - 1 + C n n · b n

    Здесь C n k - биномиальные коэффициенты, которые стоят в строке под номером n в треугольнике паскаля. Биномиальные коэффициенты вычисляются по формуле:

    C n k = n ! k ! · (n - k) ! = n (n - 1) (n - 2) . . (n - (k - 1)) k !

    Как видим, ФСУ для квадрата и куба разности и суммы - это частный случай формулы бинома Ньютона при n=2 и n=3соответственно.

    Но что, если слагаемых в сумме, которую нужно возвести в степень, больше, чем два? Полезной будет формула квадрата суммы трех, четырех и более слагаемых.

    a 1 + a 2 + . . + a n 2 = a 1 2 + a 2 2 + . . + a n 2 + 2 a 1 a 2 + 2 a 1 a 3 + . . + 2 a 1 a n + 2 a 2 a 3 + 2 a 2 a 4 + . . + 2 a 2 a n + 2 a n - 1 a n

    Еще одна формула, которая может пригодится - формула формула разности n-ых степеней двух слагаемых.

    a n - b n = a - b a n - 1 + a n - 2 b + a n - 3 b 2 + . . + a 2 b n - 2 + b n - 1

    Эту формулу обычно разделяют на две формулы - соответственно для четных и нечетных степеней.

    Для четных показателей 2m:

    a 2 m - b 2 m = a 2 - b 2 a 2 m - 2 + a 2 m - 4 b 2 + a 2 m - 6 b 4 + . . + b 2 m - 2

    Для нечетных показателей 2m+1:

    a 2 m + 1 - b 2 m + 1 = a 2 - b 2 a 2 m + a 2 m - 1 b + a 2 m - 2 b 2 + . . + b 2 m

    Формулы разности квадратов и разности кубов, как вы догадались, являются частными случаями этой формулы при n = 2 и n = 3 соответственно. Для разности кубов b также заменяется на - b .

    Как читать формулы сокращенного умножения?

    Дадим соответствующие формулировки для каждой формулы, но сначала разберемся с принципом чтения формул. Удобнее всего делать это на примере. Возьмем самую первую формулу квадрата суммы двух чисел.

    a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2 .

    Говорят: квадрат суммы двух выражений a и b равен сумме квадрата первого выражения, удвоенного произведения выражений и квадрата второго выражения.

    Все остальные формулы читаются аналогично. Для квадрата разности a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 запишем:

    квадрат разности двух выражений a и b равен сумме квадратов этих выражений минус удвоенное произведение первого и второго выражения.

    Прочитаем формулу a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 . Куб суммы двух выражений a и b равен сумме кубов этих выражений, утроенного произведения квадрата первого выражения на второе и утроенного произведения квадрата второго выражения на первое выражение.

    Переходим к чтению формулы для разности кубов a - b 3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3 . Куб разности двух выражений a и b равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе, плюс утроенное произведение квадрата второго выражения на первое выражение, минус куб второго выражения.

    Пятая формула a 2 - b 2 = a - b a + b (разность квадратов) читается так: разность квадратов двух выражений равна произведению разности и суммы двух выражений.

    Выражения типа a 2 + a b + b 2 и a 2 - a b + b 2 для удобства называют соответственно неполным квадратом суммы и неполным квадратом разности.

    С учетом этого, формулы суммы и разности кубов прочитаются так:

    Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности.

    Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы.

    Доказательство ФСУ

    Доказать ФСУ довольно просто. Основываясь на свойствах умножения, проведем умножение частей формул в скобках.

    Для примера рассмотрим формулу квадрата разности.

    a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 .

    Чтобы возвести выражение во вторую степень нужно это выражение умножить само на себя.

    a - b 2 = a - b a - b .

    Раскроем скобки:

    a - b a - b = a 2 - a b - b a + b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 .

    Формула доказана. Остальные ФСУ доказываются аналогично.

    Примеры применения ФСУ

    Цель использования формул сокращенного умножения - быстрое и краткое умножение и возведение выражений в степень. Однако, это не вся сфера применения ФСУ. Они широко используются при сокращении выражений, сокращении дробей, разложении многочленов на множители. Приведем примеры.

    Пример 1. ФСУ

    Упростим выражение 9 y - (1 + 3 y) 2 .

    Применим формулу суммы квадратов и получим:

    9 y - (1 + 3 y) 2 = 9 y - (1 + 6 y + 9 y 2) = 9 y - 1 - 6 y - 9 y 2 = 3 y - 1 - 9 y 2

    Пример 2. ФСУ

    Сократим дробь 8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 .

    Замечаем, что выражение в числителе - разность кубов, а в знаменателе - разность квадратов.

    8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = 2 x - z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x - z 2 x + z .

    Сокращаем и получаем:

    8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z

    Также ФСУ помогают вычислять значения выражений. Главное - уметь заметить, где применить формулу. Покажем это на примере.

    Возведем в квадрат число 79 . Вместо громоздких вычислений, запишем:

    79 = 80 - 1 ; 79 2 = 80 - 1 2 = 6400 - 160 + 1 = 6241 .

    Казалось бы, сложное вычисление проведено быстро всего лишь с использованием формул сокращенного умножения и таблицы умножения.

    Еще один важный момент - выделение квадрата двучлена. Выражение 4 x 2 + 4 x - 3 можно преобразовать в вид 2 x 2 + 2 · 2 · x · 1 + 1 2 - 4 = 2 x + 1 2 - 4 . Такие преобразования широко используются в интегрировании.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

    Читать еще: