Понятие доли и дроби. Доли, обыкновенные дроби, определения, обозначения, примеры, действия с дробями
Дроби мы постоянно используем в жизни. Например, когда едим торт с друзьями. Торт можно разделить на 8 равных частей или на 8 долей . Доля – это равная часть от чего-то целого. Четыре друга съели по кусочку торта. Четыре взяли из восьми кусочков можно записать математически в виде обыкновенной дроби \(\frac{4}{8}\), читается дробь “четыре восьмых” или “четыре деленное на восемь”. Обыкновенную дробь еще называют простой дробью .
Дробная черта заменяет деление:
\(4 \div 8 = \frac{4}{8}\)
Это мы записали доли в дробях. В буквенном виде будет так:
\(\bf m \div n = \frac{m}{n}\)
4 – числитель
или делимое, находится вверху над дробной чертой и показывает сколько частей или долей из общего было взято.
8 – знаменатель
или делитель, находится внизу под дробной чертой и показывает общее количество частей или долей.
Если мы приглядимся внимательно, то увидим, что друзья съели половину торта или одну часть из двух. Запишем в виде обыкновенной дроби \(\frac{1}{2}\), читается “одна вторая”.
Рассмотрим еще пример:
Имеется квадрат. Квадрат разделили на 5 равных частей. Две части закрасили. Запишите дробь для закрашенных частей? Запишите дробь для не закрашенных частей?
Две части закрасили, а всего частей пять, поэтому дробь будет иметь вид \(\frac{2}{5}\), читается дробь “две пятых”.
Три части не закрасили, всего частей пять, поэтому дробь запишем так \(\frac{3}{5}\), читается дробь “три пятых”.
Разделим квадрат на более мелкие квадраты и запишем дроби, для закрашенных и не закрашенных частей.
Закрашенных 6 частей, а всего 25 частей. Получаем дробь \(\frac{6}{25}\) , читается дробь “шесть двадцать пятых”.
Не закрашенных 19 частей, а всего 25 частей. Получаем дробь \(\frac{19}{25}\), читается дробь “девятнадцать двадцать пятых”.
Закрашенных 4 части, а всего 25 частей. Получаем дробь \(\frac{4}{25}\), читается дробь “четыре двадцать пятых”.
Не закрашенных 21 частей, а всего 25 частей. Получаем дробь \(\frac{21}{25}\), читается дробь “двадцать один двадцать пятых”.
Любое натуральное число можно представить в виде дроби . Например:
\(5 = \frac{5}{1}\)
\(\bf m = \frac{m}{1}\)
Любое число делиться на единицу, поэтому это число можно представить в виде дроби.
Вопросы по теме “обыкновенные дроби”:
Что такое доля?
Ответ: доля
– это равная часть от чего-то целого.
Что показывает знаменатель?
Ответ: знаменатель показывает на сколько всего частей или долей поделено.
Что показывает числитель?
Ответ: числитель показывает сколько частей или долей было взято.
Дорога составляла 100м. Миша прошел 31м. Запишите дробью выражение сколько прошел Миша?
Ответ:\(\frac{31}{100}\)
Что такое обыкновенная дробь?
Ответ: обыкновенная дробь – это отношение числителя к знаменателю, где числитель меньше знаменателя. Пример, обыкновенных дробей \(\frac{1}{4}, \frac{3}{7}, \frac{5}{13}, \frac{9}{11}…\)
Как перевести натуральное число в обыкновенную дробь?
Ответ: любое число можно записать в виде дроби, например, \(5 = \frac{5}{1}\)
Задача №1:
Купили 2кг 700г дыни. Мише отрезали \(\frac{2}{9}\) дыни. Чему равна масса отрезанного кусочка? Сколько граммов дыни осталось?
Решение:
Переведем килограммы в граммы.
2кг = 2000г
2000г + 700г = 2700г всего весит дыня.
Мише отрезали \(\frac{2}{9}\) дыни. В знаменателе стоит число 9, значит на 9 частей разделили дыню.
2700: 9 =300г масса одного кусочка.
В числители стоит число 2, значит надо Мише дать два кусочка.
300 + 300 = 600г или 300 ⋅ 2 = 600г столько дыни съел Миша.
Чтобы найти какая масса дыни осталась нужно вычесть от общей массы дыни съеденную массу.
2700 — 600 = 2100г осталось дыни.
Эта статья про обыкновенные дроби . Здесь мы познакомимся с понятием доли целого, которое приведет нас к определению обыкновенной дроби. Дальше остановимся на принятых обозначениях для обыкновенных дробей и приведем примеры дробей, скажем про числитель и знаменатель дроби. После этого дадим определения правильных и неправильных, положительных и отрицательных дробей, а также рассмотрим положение дробных чисел на координатном луче. В заключение перечислим основные действия с дробями.
Навигация по странице.
Доли целого
Сначала введем понятие доли .
Предположим, что у нас есть некоторый предмет, составленный из нескольких абсолютно одинаковых (то есть, равных) частей. Для наглядности можно представить, например, яблоко, разрезанное на несколько равных частей, или апельсин, состоящий из нескольких равных долек. Каждую из этих равных частей, составляющих целый предмет, называют долей целого или просто долей .
Заметим, что доли бывают разные. Поясним это. Пусть у нас есть два яблока. Разрежем первое яблоко на две равные части, а второе – на 6 равных частей. Понятно, что доля первого яблока будет отличаться от доли второго яблока.
В зависимости от количества долей, составляющих целый предмет, эти доли имеют свои названия. Разберем названия долей . Если предмет составляют две доли, любая из них называется одна вторая доля целого предмета; если предмет составляют три доли, то любая из них называется одна третья доля, и так далее.
Одна вторая доля имеет специальное название – половина . Одна третья доля называется третью , а одна четверная доля – четвертью .
Для краткости записи были введены следующие обозначения долей . Одну вторую долю обозначают как или 1/2 , одну третью долю – как или 1/3 ; одну четвертую долю – как или 1/4 , и так далее. Отметим, что запись с горизонтальной чертой употребляется чаще. Для закрепления материала приведем еще один пример: запись обозначает одну сто шестьдесят седьмую долю целого.
Понятие доли естественным образом распространяется с предметов на величины. Например, одной из мер измерения длины является метр. Для измерения длин меньших, чем метр, можно использовать доли метра. Так можно воспользоваться, например, половиной метра или десятой или тысячной долей метра. Аналогично применяются доли других величин.
Обыкновенные дроби, определение и примеры дробей
Для описания количества долей используются обыкновенные дроби . Приведем пример, который позволит нам подойти к определению обыкновенных дробей.
Пусть апельсин состоит из 12 долей. Каждая доля в этом случае представляет одну двенадцатую долю целого апельсина, то есть, . Две доли обозначим как , три доли – как , и так далее, 12 долей обозначим как . Каждую из приведенных записей называют обыкновенной дробью.
Теперь дадим общее определение обыкновенных дробей .
Озвученное определение обыкновенных дробей позволяет привести примеры обыкновенных дробей
: 5/10
, , 21/1
, 9/4
, . А вот записи 
не подходят под озвученное определение обыкновенных дробей, то есть, не являются обыкновенными дробями.
Числитель и знаменатель
Для удобства в обыкновенной дроби различают числитель и знаменатель .
Определение.
Числитель обыкновенной дроби (m/n ) – это натуральное число m .
Определение.
Знаменатель обыкновенной дроби (m/n ) – это натуральное число n .
Итак, числитель расположен сверху над чертой дроби (слева от наклонной черты), а знаменатель – снизу под чертой дроби (справа от наклонной черты). Для примера приведем обыкновенную дробь 17/29 , числителем этой дроби является число 17 , а знаменателем – число 29 .
Осталось обговорить смысл, заключенный в числителе и знаменателе обыкновенной дроби. Знаменатель дроби показывает, из скольких долей состоит один предмет, числитель в свою очередь указывает количество таких долей. Например, знаменатель 5 дроби 12/5 означает, что один предмет состоит из пяти долей, а числитель 12 означает, что взято 12 таких долей.
Натуральное число как дробь со знаменателем 1
Знаменатель обыкновенной дроби может быть равен единице. В этом случае можно считать, что предмет неделим, иными словами, представляет собой нечто целое. Числитель такой дроби указывает, сколько целых предметов взято. Таким образом, обыкновенная дробь вида m/1 имеет смысл натурального числа m . Так мы обосновали справедливость равенства m/1=m .
Перепишем последнее равенство так: m=m/1 . Это равенство дает нам возможность любое натуральное число m представлять в виде обыкновенной дроби. Например, число 4 – это дробь 4/1 , а число 103 498 равно дроби 103 498/1 .
Итак, любое натуральное число m можно представить в виде обыкновенной дроби со знаменателем 1 как m/1 , а любую обыкновенную дробь вида m/1 можно заменить натуральным числом m .
Черта дроби как знак деления
Представление исходного предмета в виде n долей представляет собой не что иное как деление на n равных частей. После того как предмет разделен на n долей, мы его можем разделить поровну между n людьми – каждый получит по одной доле.
Если же у нас есть изначально m одинаковых предметов, каждый из которых разделен на n долей, то эти m предметов мы можем поровну разделить между n людьми, раздав каждому человеку по одной доле от каждого из m предметов. При этом у каждого человека будет m долей 1/n , а m долей 1/n дает обыкновенную дробь m/n . Таким образом, обыкновенную дробь m/n можно применять для обозначения деления m предметов между n людьми.
Так мы получили явную связь между обыкновенными дробями и делением (смотрите общее представление о делении натуральных чисел). Эта связь выражается в следующем: черту дроби можно понимать как знак деления, то есть, m/n=m:n .
С помощью обыкновенной дроби можно записать результат деления двух натуральных чисел, для которых не выполняется деление нацело. Например, результат деления 5 яблок на 8 человек можно записать как 5/8 , то есть, каждому достанется пять восьмых долей яблока: 5:8=5/8 .
Равные и неравные обыкновенные дроби, сравнение дробей
Достаточно естественным действием является сравнение обыкновенных дробей , ведь понятно, что 1/12 апельсина отличается от 5/12 , а 1/6 доля яблока такая же, как другая 1/6 доля этого яблока.
В результате сравнения двух обыкновенных дробей получается один из результатов: дроби либо равны, либо не равны. В первом случае мы имеем равные обыкновенные дроби , а во втором – неравные обыкновенные дроби . Дадим определение равных и неравных обыкновенных дробей.
Определение.
равны , если справедливо равенство a·d=b·c .
Определение.
Две обыкновенные дроби a/b и c/d не равны , если равенство a·d=b·c не выполняется.
Приведем несколько примеров равных дробей. Например, обыкновенная дробь 1/2 равна дроби 2/4 , так как 1·4=2·2 (при необходимости смотрите правила и примеры умножения натуральных чисел). Для наглядности можно представить два одинаковых яблока, первое разрезано пополам, а второе – на 4 доли. При этом очевидно, что две четвертых доли яблока составляют 1/2 долю. Другими примерами равных обыкновенных дробей являются дроби 4/7 и 36/63 , а также пара дробей 81/50 и 1 620/1 000 .
А обыкновенные дроби 4/13 и 5/14 не равны, так как 4·14=56 , а 13·5=65 , то есть, 4·14≠13·5 . Другим примером неравных обыкновенных дробей являются дроби 17/7 и 6/4 .
Если при сравнении двух обыкновенных дробей выяснилось, что они не равны, то возможно потребуется узнать, какая из этих обыкновенных дробей меньше другой, а какая – больше . Чтобы это выяснить, используется правило сравнения обыкновенных дробей, суть которого сводится к приведению сравниваемых дробей к общему знаменателю и последующему сравнению числителей. Детальная информация по этой теме собрана в статье сравнение дробей: правила, примеры, решения .
Дробные числа
Каждая дробь является записью дробного числа . То есть, дробь – это всего лишь «оболочка» дробного числа, его внешний вид, а вся смысловая нагрузка содержится именно в дробном числе. Однако для краткости и удобства понятие дроби и дробного числа объединяют и говорят просто дробь. Здесь уместно перефразировать известное изречение: мы говорим дробь – подразумеваем дробное число, мы говорим дробное число – подразумеваем дробь.
Дроби на координатном луче
Все дробные числа, отвечающие обыкновенным дробям, имеют свое уникальное место на , то есть, существует взаимно однозначное соответствие между дробями и точками координатного луча.
Чтобы на координатном луче попасть в точку, соответствующую дроби m/n нужно от начала координат в положительном направлении отложить m отрезков, длина которых составляет 1/n долю единичного отрезка. Такие отрезки можно получить, разделив единичный отрезок на n равных частей, что всегда можно сделать с помощью циркуля и линейки.
Для примера покажем точку М на координатном луче, соответствующую дроби 14/10 . Длина отрезка с концами в точке O и ближайшей к ней точке, отмеченной маленьким штрихом, составляет 1/10 долю единичного отрезка. Точка с координатой 14/10 удалена от начала координат на расстояние 14 таких отрезков.
Равным дробям отвечает одно и то же дробное число, то есть, равные дроби являются координатами одной и той же точки на координатном луче. Например, координатам 1/2 , 2/4 , 16/32 , 55/110 на координатном луче соответствует одна точка, так как все записанные дроби равны (она расположена на расстоянии половины единичного отрезка, отложенного от начала отсчета в положительном направлении).
На горизонтальном и направленном вправо координатном луче точка, координатой которой является большая дробь, располагается правее точки, координатой которой является меньшая дробь. Аналогично, точка с меньшей координатой лежит левее точки с большей координатой.
Правильные и неправильные дроби, определения, примеры
Среди обыкновенных дробей различают правильные и неправильные дроби . Это разделение в своей основе имеет сравнение числителя и знаменателя.
Дадим определение правильных и неправильных обыкновенных дробей.
Определение.
Правильная дробь
– это обыкновенная дробь, числитель которой меньше знаменателя, то есть, если m Определение.
Неправильная дробь
– это обыкновенная дробь, в которой числитель больше или равен знаменателю, то есть, если m≥n
, то обыкновенная дробь является неправильной.
Приведем несколько примеров правильных дробей: 1/4
, , 32 765/909 003
. Действительно, в каждой из записанных обыкновенных дробей числитель меньше знаменателя (при необходимости смотрите статью сравнение натуральных чисел), поэтому они правильные по определению. А вот примеры неправильных дробей: 9/9
, 23/4
, . Действительно, числитель первой из записанных обыкновенных дробей равен знаменателю, а в остальных дробях числитель больше знаменателя. Также имеют место определения правильных и неправильных дробей, базирующиеся на сравнении дробей с единицей. Определение.
правильной
, если она меньше единицы.
Определение.
Обыкновенная дробь называется неправильной
, если она либо равна единице, либо больше 1
.
Так обыкновенная дробь 7/11
– правильная, так как 7/11<1
, а обыкновенные дроби 14/3
и 27/27
– неправильные, так как 14/3>1
, а 27/27=1
. Давайте поразмыслим, чем же обыкновенные дроби с числителем, превосходящим или равным знаменателю, заслужили такое название – «неправильные». Для примера возьмем неправильную дробь 9/9
. Эта дробь означает, что взято девять долей предмета, который состоит из девяти долей. То есть, из имеющихся девяти долей мы можем составить целый предмет. То есть, неправильная дробь 9/9
по сути дает целый предмет, то есть, 9/9=1
. Вообще, неправильные дроби с числителем равным знаменателю обозначают один целый предмет, и такую дробь может заменить натуральное число 1
. Теперь рассмотрим неправильные дроби 7/3
и 12/4
. Достаточно очевидно, что из этих семи третьих долей мы можем составить два целых предмета (один целый предмет составляют 3
доли, тогда для составления двух целых предметов нам потребуется 3+3=6
долей) и еще останется одна третья доля. То есть, неправильная дробь 7/3
по сути означает 2
предмета да еще 1/3
долю такого предмета. А из двенадцати четвертых долей мы можем составить три целых предмета (три предмета по четыре доли в каждом). То есть, дробь 12/4
по сути означает 3
целых предмета. Рассмотренные примеры приводят нас к следующему выводу: неправильные дроби, могут быть заменены либо натуральными числами, когда числитель делится нацело на знаменатель (например, 9/9=1
и 12/4=3
), либо суммой натурального числа и правильной дроби, когда числитель не делится нацело на знаменатель (например, 7/3=2+1/3
). Возможно, именно этим и заслужили неправильные дроби такое название – «неправильные». Отдельный интерес вызывает представление неправильной дроби в виде суммы натурального числа и правильной дроби (7/3=2+1/3
). Этот процесс называется выделением целой части из неправильной дроби , и заслуживает отдельного и более внимательного рассмотрения. Также стоит заметить, что существует очень тесная связь между неправильными дробями и смешанными числами . Каждая обыкновенная дробь отвечает положительному дробному числу (смотрите статью положительные и отрицательные числа). То есть, обыкновенные дроби являются положительными дробями
. К примеру, обыкновенные дроби 1/5
, 56/18
, 35/144
– положительные дроби. Когда нужно особо выделить положительность дроби, то перед ней ставится знак плюс, например, +3/4
, +72/34
. Если перед обыкновенной дробью поставить знак минус, то эта запись будет соответствовать отрицательному дробному числу. В этом случае можно говорить об отрицательных дробях
. Приведем несколько примеров отрицательных дробей: −6/10
, −65/13
, −1/18
. Положительная и отрицательная дроби m/n
и −m/n
являются противоположными числами . К примеру, дроби 5/7
и −5/7
– противоположные дроби. Положительные дроби, как и положительные числа в целом, обозначают прибавление, доход, изменение какой-либо величины в сторону увеличения и т.п. Отрицательные дроби отвечают расходу, долгу, изменению какой-либо величины в сторону уменьшения. Например, отрицательную дробь −3/4
можно трактовать как долг, величина которого равна 3/4
. На горизонтальной и направленной вправо отрицательные дроби располагаются левее начала отсчета. Точки координатной прямой, координатами которых являются положительная дробь m/n
и отрицательная дробь −m/n
расположены на одинаковом расстоянии от начала координат, но по разные стороны от точки O
. Здесь же стоит сказать о дробях вида 0/n
. Эти дроби равны числу нуль, то есть, 0/n=0
. Положительные дроби, отрицательные дроби, а также дроби 0/n
объединяются в рациональные числа . Одно действие с обыкновенными дробями – сравнение дробей - мы уже рассмотрели выше. Определены еще четыре арифметических действия с дробями
– сложение, вычитание, умножение и деление дробей. Остановимся на каждом из них. Общая суть действий с дробями аналогична сути соответствующих действий с натуральными числами. Проведем аналогию. Умножение дробей
можно рассматривать как действие, при котором находится дробь от дроби. Для пояснения приведем пример. Пусть у нас есть 1/6
часть яблока и нам нужно взять 2/3
части от нее. Нужная нам часть является результатом умножения дробей 1/6
и 2/3
. Результатом умножения двух обыкновенных дробей является обыкновенная дробь (которая в частном случае равна натуральному числу). Дальше рекомендуем к изучению информацию статьи умножение дробей – правила, примеры и решения . Список литературы.
,
Конкурс «Презентация к уроку»
Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию. Цели:
знать термин “дробь”, его
определение, уметь читать и записывать
обыкновенные дроби, указывать знаменатель и
числитель дроби, показывать соответствующую
дробь геометрической фигуры; закреплять умение
анализировать и решать задачи разного вида,
соотношение единиц измерения величин; развивать
речь, логическое мышление, память, внимание,
навыки самоконтроля и самоанализа. Оборудование: мультимедийная доска,
проектор, презентация к уроку, учебник
“Математика” - 4 класс, часть 1, под редакцией Л.Г.
Петерсон. Ход урока 1) Организационное начало. Ребята, сегодня на уроке вы должны открыть
новое знание, но как вам известно, каждое новое
знание связано с тем, что мы уже изучили. Поэтому
начнем с повторения. Перед тем, как приступить к
работе вспомним: какие правила мы должны
соблюдать на уроке? Ответы детей. Учитель
выслушивает правила: Слышать друг друга. Дополнять. Исправлять, помогать. Вычислив значения выражений и расположив их в
порядке возрастания, вы узнаете тему урока. Как 1 разделить на 2? (Ответы детей) Проблема? 4) Постановка учебной задачи. Людям часто приходится делить целое на доли.
Самая известная доля – это конечно, половина.
Слово с приставкой “пол” можно услышать каждый
день. 5) “Открытие” новых знаний. Равные части арбуза – это доли. Арбуз разделили
на 6 долей, то одна доля – “одна шестая арбуза”, а
остальная часть – 5/6. Отрезок разделили на 7 долей. Найти одну долю,
две доли, пять долей, шесть долей, семь долей,
восемь долей. Записи вида 5/6 называют обыкновенными дробями.
Числитель дроби – 5, знаменатель дроби – 6.
Знаменатель дроби показывает на сколько долей
делят, а числитель дроби – сколько таких долей
взято. Слайды 5-17. Поиграем в игру “Доли”.
Найди дроби и щелкни по ней мышкой. (Ученики
выходят к компьютеру и находят дроби) 6) Физкультминутка. 7) Задание № 1, с. 79 учебника – с
комментированием. Заполнить таблицу, описывая дробью закрашенную
и не закрашенную часть фигур. 8) Практическая работа. Задание №2, с. 80 учебника – изображение
соответствующих дробей. 9) Закрепление.
А) Чтение дробей: задание № 3, с. 80 учебника. Б) Проценты:
задания 4, 5, с. 80 учебника. В) Единицы измерения величин: задание № 7, с.
81учебника.
Г) Решение задач. Слайд 18.
Дорога от Фабричного до Ильинского равна 8 км.
Петя прошел 3 км. Какую часть дороги он прошел? В бидон налили молоко. Какая часть бидона
занята молоком? Какую часть всех яблок положили в тарелку? (Пригласить к компьютеру ученика) Задача на логическое мышление. Как разрезать головку сыра на 8 равных долей,
сделав только 3 разреза? Слайды 22–27. Отметьте на координатном луче мигающую точку. (Пригласить к компьютеру ученика) 10) Итог урока. Расскажите, какие открытия сделали сегодня? Что узнали нового? Что называем дробью? Как записывают дробь? Что обозначает дробная черта? Как называются числа дроби? Что показывает
числитель? Знаменатель дроби? Приведите примеры дробей. 11) Домашнее задание: № 6, 9, с. 80-81 учебника. ,
Конкурс «Презентация к уроку»
Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию. Цели:
знать термин “дробь”, его
определение, уметь читать и записывать
обыкновенные дроби, указывать знаменатель и
числитель дроби, показывать соответствующую
дробь геометрической фигуры; закреплять умение
анализировать и решать задачи разного вида,
соотношение единиц измерения величин; развивать
речь, логическое мышление, память, внимание,
навыки самоконтроля и самоанализа. Оборудование: мультимедийная доска,
проектор, презентация к уроку, учебник
“Математика” - 4 класс, часть 1, под редакцией Л.Г.
Петерсон. Ход урока 1) Организационное начало. Ребята, сегодня на уроке вы должны открыть
новое знание, но как вам известно, каждое новое
знание связано с тем, что мы уже изучили. Поэтому
начнем с повторения. Перед тем, как приступить к
работе вспомним: какие правила мы должны
соблюдать на уроке? Ответы детей. Учитель
выслушивает правила: Слышать друг друга. Дополнять. Исправлять, помогать. Вычислив значения выражений и расположив их в
порядке возрастания, вы узнаете тему урока. Как 1 разделить на 2? (Ответы детей) Проблема? 4) Постановка учебной задачи. Людям часто приходится делить целое на доли.
Самая известная доля – это конечно, половина.
Слово с приставкой “пол” можно услышать каждый
день. 5) “Открытие” новых знаний. Равные части арбуза – это доли. Арбуз разделили
на 6 долей, то одна доля – “одна шестая арбуза”, а
остальная часть – 5/6. Отрезок разделили на 7 долей. Найти одну долю,
две доли, пять долей, шесть долей, семь долей,
восемь долей. Записи вида 5/6 называют обыкновенными дробями.
Числитель дроби – 5, знаменатель дроби – 6.
Знаменатель дроби показывает на сколько долей
делят, а числитель дроби – сколько таких долей
взято. Слайды 5-17. Поиграем в игру “Доли”.
Найди дроби и щелкни по ней мышкой. (Ученики
выходят к компьютеру и находят дроби) 6) Физкультминутка. 7) Задание № 1, с. 79 учебника – с
комментированием. Заполнить таблицу, описывая дробью закрашенную
и не закрашенную часть фигур. 8) Практическая работа. Задание №2, с. 80 учебника – изображение
соответствующих дробей. 9) Закрепление.
А) Чтение дробей: задание № 3, с. 80 учебника. Б) Проценты:
задания 4, 5, с. 80 учебника. В) Единицы измерения величин: задание № 7, с.
81учебника.
Г) Решение задач. Слайд 18.
Дорога от Фабричного до Ильинского равна 8 км.
Петя прошел 3 км. Какую часть дороги он прошел? В бидон налили молоко. Какая часть бидона
занята молоком? Какую часть всех яблок положили в тарелку? (Пригласить к компьютеру ученика) Задача на логическое мышление. Как разрезать головку сыра на 8 равных долей,
сделав только 3 разреза? Слайды 22–27. Отметьте на координатном луче мигающую точку. (Пригласить к компьютеру ученика) 10) Итог урока. Расскажите, какие открытия сделали сегодня? Что узнали нового? Что называем дробью? Как записывают дробь? Что обозначает дробная черта? Как называются числа дроби? Что показывает
числитель? Знаменатель дроби? Приведите примеры дробей. 11) Домашнее задание: № 6, 9, с. 80-81 учебника. Долей единицы и представляется в виде \frac{a}{b}
. Числитель дроби (a)
— число, находящееся над чертой дроби и показывающее количество долей, на которые была поделена единица. Знаменатель дроби (b)
— число, находящееся под чертой дроби и показывающее на сколько долей поделили единицу. Скрыть
Показать
Если ad=bc
, то две дроби \frac{a}{b}
и \frac{c}{d}
считаются равными. К примеру, равными будут дроби \frac35
и \frac{9}{15}
, так как 3 \cdot 15 = 15 \cdot 9
, \frac{12}{7}
и \frac{24}{14}
, так как 12 \cdot 14 = 7 \cdot 24
. Из определения равенства дробей следует, что равными будут дроби \frac{a}{b}
и \frac{am}{bm}
, так как a(bm)=b(am)
— наглядный пример применения сочетательного и переместительного свойств умножения натуральных чисел в действии. Значит \frac{a}{b} = \frac{am}{bm}
— так выглядит основное свойство дроби
. Другими словами, мы получим дробь, равную данной, умножив или разделив числитель и знаменатель исходной дроби на одно и то же натуральное число. Сокращение дроби
— это процесс замены дроби, при котором новая дробь получается равной исходной, но с меньшим числителем и знаменателем. Сокращать дроби принято, опираясь на основное свойство дроби. Например, \frac{45}{60}=\frac{15}{20}
(числитель и знаменатель делится на число 3
); полученную дробь снова можно сократить, разделив на 5
, то есть \frac{15}{20}=\frac 34
. Несократимая дробь
— это дробь вида \frac 34
, где числитель и знаменатель являются взаимно простыми числами. Основная цель сокращения дроби — сделать дробь несократимой. Возьмем в качестве примера две дроби: \frac{2}{3}
и \frac{5}{8}
с разными знаменателями 3
и 8
. Для того, чтобы привести данные дроби к общему знаменателю и сначала перемножим числитель и знаменатель дроби \frac{2}{3}
на 8
. Получаем следующий результат: \frac{2 \cdot 8}{3 \cdot 8} = \frac{16}{24}
. Затем умножаем числитель и знаменатель дроби \frac{5}{8}
на 3
. Получаем в итоге: \frac{5 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{15}{24}
. Итак, исходные дроби приведены к общему знаменателю 24
. а)
При одинаковых знаменателях числитель первой дроби складывают с числителем второй дроби, оставляя знаменатель прежним. Как видно на примере: \frac{a}{b}+\frac{c}{b}=\frac{a+c}{b}
; б)
При разных знаменателях дроби сначала приводят к общему знаменателю, а затем выполняют сложение числителей по правилу а)
: \frac{7}{3}+\frac{1}{4}=\frac{7 \cdot 4}{3}+\frac{1 \cdot 3}{4}=\frac{28}{12}+\frac{3}{12}=\frac{31}{12}
. а)
При одинаковых знаменателях из числителя первой дроби вычитают числитель второй дроби, оставляя знаменатель прежним: \frac{a}{b}-\frac{c}{b}=\frac{a-c}{b}
; б)
Если же знаменатели дробей различны, то сначала дроби приводят к общему знаменателю, а затем повторяют действия как в пункте а)
. Умножение дробей подчиняется следующему правилу: \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}=\frac{a \cdot c}{b \cdot d}
, то есть перемножают отдельно числители и знаменатели. Например: \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{8} = \frac{3 \cdot 4}{5 \cdot 8}=\frac{12}{40}
. Деление дробей производят следующим способом: \frac{a}{b} : \frac{c}{d}= \frac{ad}{bc}
, то есть дробь \frac{a}{b}
умножается на дробь \frac{d}{c}
. Пример: \frac{7}{2} : \frac{1}{8}=\frac{7}{2} \cdot \frac{8}{1}=\frac{7 \cdot 8}{2 \cdot 1}=\frac{56}{2}
. Если ab=1
, то число b
является обратным числом
для числа a
. Пример: для числа 9
обратным является \frac{1}{9}
, так как 9 \cdot \frac{1}{9}=1
, для числа 5
— \frac{1}{5}
, так как 5 \cdot \frac{1}{5}=1
. Десятичной дробью
называется правильная дробь, знаменатель которой равен 10, 1000, 10\,000, ..., 10^n
. Например: \frac{6}{10}=0,6;\enspace \frac{44}{1000}=0,044
. Таким же способом пишутся неправильные со знаменателем 10^n
или смешанные числа. Например: 5\frac{1}{10}=5,1;\enspace \frac{763}{100}=7\frac{63}{100}=7,63
. В виде десятичной дроби представляется любая обыкновенная дробь со знаменателем, который является делителем некой степени числа 10
. Пример: 5
— делитель числа 100
, поэтому дробь \frac{1}{5}=\frac{1 \cdot 20}{5 \cdot 20}=\frac{20}{100}=0,2
. Для сложения двух десятичных дробей, нужно их расположить так, чтобы друг под другом оказались одинаковые разряды и запятая под запятой, а затем выполнить сложение дробей как обычных чисел. Выполняется аналогично сложению. При умножении десятичных чисел достаточно перемножить заданные числа, не обращая внимания на запятые (как натуральные числа), а в полученном ответе запятой справа отделяется столько цифр, сколько их стоит после запятой в обоих множителях суммарно. Давайте выполним умножение 2,7
на 1,3
. Имеем 27 \cdot 13=351
. Отделяем справа две цифры запятой (у первого и второго числа — одна цифра после запятой; 1+1=2
). В итоге получаем 2,7 \cdot 1,3=3,51
. Если в полученном результате получается меньше цифр, чем надо отделить запятой, то впереди пишут недостающие нули, например: Для умножения на 10
, 100
, 1000
, надо в десятичной дроби перенести запятую на 1
, 2
, 3
цифры вправо (в случае необходимости справа приписывается определенное число нулей). Например: 1,47 \cdot 10\,000 = 14 700
. Деление десятичной дроби на натуральное число производят также, как и деление натурального числа на натуральное. Запятая в частном ставится после того, как закончено деление целой части. Если целая часть делимого меньше делителя, то в ответе получается нуль целых, например: Рассмотрим деление десятичной дроби на десятичную. Пусть нужно разделить 2,576
на 1,12
. Первым делом, умножим делимое и делитель дроби на 100
, то есть перенесем запятую вправо в делимом и делителе на столько знаков, сколько их стоит в делителе после запятой (в данном примере на две). Затем нужно выполнить деление дроби 257,6
на натуральное число 112
, то есть задача сводится к уже рассмотренному случаю: Бывает так, что не всегда получается конечная десятичная дробь при делении одного числа на другое. В результате получается бесконечная десятичная дробь. В таких случаях переходят к обыкновенным дробям. 2,8: 0,09= \frac{28}{10} : \frac {9}{100}= \frac{28 \cdot 100}{10 \cdot 9}=\frac{280}{9}=31 \frac{1}{9}
.Положительные и отрицательные дроби
Действия с дробями
Презентация к уроку
Назад
Вперёд
Презентация к уроку
Назад
Вперёд
Основное свойство дроби
Приведение дробей к общему знаменателю
Арифметические действия над обыкновенными дробями
Сложение обыкновенных дробей
Вычитание обыкновенных дробей
Умножение обыкновенных дробей
Деление обыкновенных дробей
Взаимно обратные числа
Десятичные дроби
Арифметические действия над десятичными дробями
Сложение десятичных дробей
Вычитание десятичных дробей
Умножение десятичных дробей
Деление десятичных дробей
.png)
.png)