Уравнение основных термодинамических процессов идеального газа. Графики основных термодинамических процессов идеального газа в P-V и T-S диаграммах

Внутренняя энергия.

Внутренняя энергия включает в себя:

1 кинетическую энергию поступательного, вращательного и колебательного движения частиц.

2 потенциальную энергию взаимодействия частиц.

3 энергию электронных оболочек.

4 внутриядерную энергию.

Т.к. в большинстве случаев 3 и 4 являются постоянными, то в дальнейшем под внутренней энергией будем понимать энергию хаотического движения молекул и атомов. Для реальных газов необходимо учитывать потенциальную энергию. Поэтому внутренняя энергия есть некоторая однозначная функция состояния тела, т.е. любых двух независимых параметров.

U=f(P,T); U=f(υ,P); U= f(υ,T).

Изменение внутренней энергии не зависит от характера процесса, а определяет только начальное и конечное состояние тела.

Внутренняя энергия идеального газа, в которой отсутствуют силы межмолекулярного взаимодействия не зависит от V тела или Р, а определяется только конечной температурой

А для реального нужно учитывать все силы.

Для идеального газа

Рис. 3. Изменение внутренней энергии идеального газа.

ΔU=U 2 -U 1 = U 21 -U 11 = U 2’ -U 1’ (26)

ΔU=f(T 2)-f(T 1) (27).

Работа газа.

Рабочая диаграмма P-V. Работа расширения и полезная работа газа.

Передача энергии от одного тела к другому, связанная с изменением объема рабочего тела, с перемещением его во внешнем пространстве или с изменением его положения называется работой. В этом процессе участвуют два или более тел. 1-ое тело, производящее работу – отдает энергию; 2– ое тело получает энергию. Совершенная газом работа зависит от p, V, T.

Рассмотрим частный случай: работа расширения 1кг газа в равновесном процессе при постоянном давлении. Давление рабочего тела равно давлению окружающей среды.

Pdf – сила, действующая на поршень

Элементарная работа

Работа dl=p·df·dS (28).

Работа l, совершаемая системой при конечном изменении объема от V 1 до V 2 в произвольном равновесном процессе.

В реальном произвольном процессе р≠const и изменяется с изменением удельного объема υ, т.е. является функцией объема p=f(υ)

Рисунок 5. Рисунок 6.

Из рисунка 5 видно, что S 1,2,3,4 под процессом 1- 2 = работе расширения l, что следует из уравнения 30. Графическое представление процесса в координатах p-υ называется рабочей диаграммой (рис.5).

Если процесс осуществляется в направлении 1→2, это работа расширения, она положительна, т.к. dυ>0, совершается самой системой и оценивается площадью 1234.под линией процесса

1®2 dv>0 “+ l ” (1234).

Если наоборот, процесс протекает в направлении 2®1, то dυ<0, работа отрицательна (работа сжатия), затрачивается извне и оценивается площадью 4321под линией процесса

2®1 dv<0 “-l ” (4321).

Работа в отличие от изменения внутренней энергии зависит от характера процесса. Рассмотрим 3 процесса совершения работы по а,в и с (Рис.6). Они начинаются состоянием 1(р 1 ,v 1 ,т 1) и заканчиваются состоянием 2 (р 2 ,v 2 ,т 2), но промежуточные состояния различны. Изменение внутренней энергии для всех 3 процессов одинаково

ΔU = ΔU A = ΔU В = ΔU С,

А работа различна

L А > L В > L С.

Встречаются случаи, когда в рабочем теле изменяется внешняя кинетическая энергия без изменения объема (например, перемешиание мешалками). В таком процессе

, т.к. (31)

AF- изотерма H20 -зависимость удельного объема воды

от давления при температуре 0 С. Область,

которая заключается между изотермой и

осью координат – область равновесного

существования Ж и Т фаз.

При нагреве, объем начнет увелич и при достижении кипения в т А1 становится максимальной. С увеличением давления увелич Т, в т А1 v2>v1 . АК- пограничная кривая жидкости, во всех точках степень сухости = 0, Х=0. КВ-пограничная кривая пара, Х=1. Дальнейший подвод теплоты переводящий воду из состояния насыщения в состояние сухого пара: А1-В1, А2-В2 – изобарно – изотермич пр-сы.

Зависимость удельного объема v′′ изображается кривой КВ- пограничной кривой пара. Пар на этой кривой имеет степень сухости Х=1. При дальнейшем подводе теплоты к сухому пару в т Д1 и Д2, в котором находится перегретый пар, р=const, а Т растет.

Линии В2-Д2, В1-Д1 – изобарный пр-с перегретого пара. АК и КВ делят область диаграммы на три части. Левее АК располагается жидкость, а правее – влажный насыщенный пар (пароводяная смесь). КВ – сухой насыщенный пар, правее перегретый. К – критическая точка. А – тройная точка,

Удельное кол-во работы

8. TS-диаграмма водяного пара используется при исследовании холодильных установок и паросиловых установок А-а-А1.

Р-м пр-сы нагрева:

А1В1- линия парообразования

В1Д1-линия пароперегрева

Левее АК находится жидкость.

АК и КВ- область влажного насыщ пара

Область правее КВ – перегретый пар

Между АК и КВ наход линии кривые

промежуточной степени сухости.

TS диаграмма используется для определения подводимого или отводимого тепла. Из TS диаграммы видно что самое большое кол-во теплоты идет на пр-с парообразования, меньше на пароперегрев, еще меньше на нагревание. Пр-с пароперегрева - в пароперегревателе, в котлах – парообразование. По тепловому потоку вначале располагаются испаритель, пароперегреватель, экономайзер.

9. hS диаграмма водяного пара. Эта диаграмма наиболее удобна для расчетов. В отличие от pV и TS диаграмм связана величина удельной работы, а так же кол-во подведенного и отведенного тепла, изобр не виде площади, а в виде отрезков. За начало координат hS диаграммы принимают состояние воды в тройной точке, где величина энтальпии и энтропии равна 0. По оси абсцисс – энтропия, по ординате – энтальпия. На диаграмме наносятся пограничные кривые жидкости АК и пара – линия КВ. Пограничные кривые выходят из начала координат.

На hS диаграмме находятся:

изотермы

Изобары в области влажного пара,

представляет собой прямые линии

выходящие из начала пограничной

кривой жидкости к которой они

касаются. В этой области изобары

совпадают с изотермой, т е имеют одинаковый угол наклона.

, - температура кипения или насыщения, величина постоянная для данного давления между АК и КВ. В области перегретого пара изобары представляют собой кривые отклоненные вверх, с выпуклостью направленной вниз. Изотермы отклонены вправо и выпуклы вверх. Изобара АВ1 соответствует давлению в тройной точке Р0 = 0,000611 МПа. Ниже АВ1 находится состояние смеси льда и пара, на эту диаграмму наносятся изохоры.

Порядок расчета по диаграмме: 1. по заданным начальным и конечным параметрам пр-са находят график пр-са и все параметры в этих точках; 2. определяют изменение внутренней энергии:

3. определяют теплоту пр-са по след формулам:

1)В термодинамике для исследования равновесных процессов широко исполь­зуют рv – диаграмму, в которой осью аб­сцисс служит удельный объем, а осью ординат – давление. Поскольку состоя­ние термодинамической системы опреде­ляется двумя параметрами, то на PV –диаграмме оно изображается точкой. На рисунке точка 1 соответствует начально­му состоянию системы, точка 2 – конеч­ному, а линия 1-2 – процессу расшире­ния рабочего тела от v 1 до v 2 . При бесконечно малом изменении объема dv площадь заштрихованной вертикальной полоски равна pdv = δl, следовательно, работа процесса 1-2 изо­бражается площадью, ограниченной кри­вой процесса, осью абсцисс и крайними ординатами. Таким образом, работа из­менения объема эквивалентна площади под кривой процесса в диаграмме PV .

2)Равновесное состояние в TS−диаграмме изображаются точками с координатами, соответствующими значениям температуры и энтропии. На этой диаграмме по оси ординат откладывается температура, а по оси абсцисс – энтропия.

Обратимый термодинамический процесс изменения состояния рабочего тела от начального состояния 1 до конечного состояния 2 изображается на TS−диаграмме непрерывной кривой, проходящей между этими точками. Площадь abdc равна TdS=dq, т.е. выражает элементарное количество теплоты, получаемой или отдаваемой системой в обратимом процессе. Площадь под кривой в TS− диаграмме, представляет собой теплоту, подведенную к системе или отведенную от нее. Поэтому TS− диаграмму называют тепловой.

Газовые процессы в TS− диаграмме.

1. Изотермический процесс.

При изотермическом процессе T=const . Поэтому TS −диаграмме он изображается прямоq линией, параллельной оси абсцисс.

2. Адиабатный процесс

В адиабатном процессе q=0 и dq=0, а следовательно dS=0.

Следовательно, в адиабатном процессе S=const и в TS −диаграмме адиабатный процесс изображается прямой линией, параллельной оси T. Поскольку в адиабатном процессе S=const , то адиабатные обратимые процессы называют также изоэнтропными. При адиабатном сжатии температура рабочего тела повышается, а при расширении понижается. Поэтому процесс1-2 – это процесс сжатия, а процесс 2-1 – это расширение.

3. Изохорный процесс

Для изохорного процесса V=const, dV=0. При постоянной теплоемкости − вид на TS –диаграмме. Подкасательная к кривой процесса в любой её точке определяет значение истинной теплоёмкости C V . Подкасательная будет положительной только в том случае, если кривая будет обращена выпуклостью вниз.

4. Изобарный процесс

В изобарном процессе давление постоянное p=const.

При p=const как и при V=const изобара является логарифмической кривой, поднимается слева направо и обращена выпуклостью вниз.

Подкасательная к кривой 1-2 в любой её точке дает значения истинной теплоёмкости C p .

I. Введение

Как известно, простейшие термодинамические системы описываются тремя параметрами: давлением P, объемом V и температурой T. Так как они связаны уравнением Менделеева-Клапейрона, то число независимых параметров уменьшается до двух и равновесные процессы, происходящие с системой, можно изображать графически в плоскостях PV, PT или VT.

Часто по ходу решения задачи необходимо перейти от графиков в одних осях к графикам в других. Подобные переходы являются прекрасными упражнениями, позволяющими глубже понять происходящие в системе процессы.

Если график задан в масштабированных осях с конкретными цифрами, то переход к другим осям не представляет никаких трудностей, так как из уравнения Менделеева-Клапейрона можно найти недостающие координаты для характерных точек графика, после чего легко построить график в любых осях.

Если же численных данных нет, то можно стоить графики из качественных соображений, основываясь на физике процессов. При этом получающиеся графики не вполне согласованы друг с другом: по имеющимся двум графикам со значениями P i , V i , T i для характерных точек невозможно построить правильный третий график, так как получающиеся при этом линии не будут линиями изопроцессов.

Мною разработан геометрический алгоритм построения согласованных графиков, основанный на связи между параметрами системы, вытекающей из уравнения Менделеева-Клапейрона, и графическим изображением изопроцессов. Почти всегда изопроцессы изображаются прямыми линиями, кроме изотермы в осях PV. Поэтому необходимо правильно изображать гиперболу, а вернее, находить точки, принадлежащие одной гиперболе. Я обнаружил, что это легко сделать с помощью линейки.

II. Построение гиперболы с помощью линейки.

Все точки гиперболы первого порядка обладают следующим свойством: площадь любого прямоугольника, одна вершина которого принадлежит гиперболе, вторая – началу координат, а остальные – координатным осям, постоянна. Отсюда следует, что если строить такие равновеликие прямоугольники, то соответствующие вершины будут принадлежать одной гиперболе.

Пусть имеется точка A(x 1 , y 1 ) (рис.1). Нужно найти координату x 2 точки B(x 2 , y 2 ), для которой известна координата y 2 и которая принадлежит той же гиперболе, что и точка A. По условию равновеликости площадей,

x 1 · y 1 = x 1 · y 2 => x 1 /y 2 = x 2 /y 1.

Последнее равенство похоже на соотношение сторон в подобных треугольниках: треугольник OA"A" подобен треугольнику OB"B". Отсюда видно, как найти точку B. Надо провести две прямые, параллельные оси абсцисс, через точки с ординатами y 1 и y 2 , затем опустить перпендикуляр из точки A на ось абсцисс, а затем провести прямую через точку O и точку A" - пересечение перпендикуляра и прямой с ординатой y 2 . Перпендикуляр из точки B" (пересечение прямой OA" и прямой с ординатой y 1 ) на ось абсцисс и дает координату x 2 . Находя подобным образом ряд точек, можем по ним построить гиперболу.

Можно поступить еще проще. Если провести через точку A две прямые (рис.2), параллельные координатным осям, то любая прямая, проходящая через начало координат, отсекает на них координаты точек гиперболы (на 1-й - абсциссы, а на 2-й – ординаты). Если эти прямые проходят в первой четверти, то получается одна ветвь гиперболы, а если во второй – то вторая ветвь гиперболы. В более общем случае прямые 1 и 2 проводятся параллельно абсциссам, а секущие прямые – через центр двух гипербол.

III. Алгоритм построения графиков.

Так как мы рассматриваем в основном графики, соответствующие последовательным изопроцессам, то нам достаточно находить недостающие координаты точек перехода от одного изопроцесса к другому. Если же мы имеем дело не с изопроцессами, то тем более надо уметь находить координаты любой точки.

Введем на осях P, V, T масштаб, то есть выберем произвольные отрезки OP 0 , OV 0 , OT 0 , которые будем считать единичными отрезками. Желательно выбирать их одинаковыми, так как в противном случае при возвращении к исходному графику через два построенных в других осях мы получим искажение. Преобразуем уравнение Менделеева-Клапейрона

в уравнение

Таким образом, мы просто изменили масштаб на оси T.

Рассмотрим процесс нахождения недостающих координат в случаях, когда заданы графики в осях PV, PT или VT. Для каждого случая мы рассмотрим две точки. У первой ордината больше выбранной единицы (точка A), у второй – меньше (т. A")

Оси PV (рис. 3а), PT (рис. 3б) и VT (рис. 3в).

Пусть имеются точки A и A" в плоскости PV. Необходимо найти для них координаты T". Из уравнения (2) следует, что значение T" геометрически равно значению объема при P = P 0 = 1. Поэтому надо провести изотермы через A и A" до пересечения с прямой P = P 0 . Тогда абсциссы этих точек дадут геометрические значения T" A и T" A" . Для точки A построение описано выше.

Для точки A" построение ведется в обратном порядке по сравнению с A, так как P A" < P 0 , а P A > P 0 . Проводим прямые, параллельные осям, через точку A". Проводим линию через начало координат и пересечение вертикали из точки A" с линией P = P 0 . Через точку пересечения этой линии с горизонталью из точки A" проводим вертикаль, пересечение которой с осью 0V даёт значение V B" , геометрически равное T A" в выбранном нами масштабе.

Из уравнения (2) следует, что V = T"/P. При P = P 0 = 1 получаем, что геометрически V = T". Проведем через A и A" изохоры. Тогда абсциссы точек пересечения их с прямой P = P 0 дадут нам геометрическое значение объема.

Из уравнения (2) следует, что P = T"/V. Поэтому, построение в осях VT проводится аналогично, только теперь надо проводить изобары через точки A и A" и пересечение искать с прямой V = V 0 .

Как видно, для нахождения недостающей координаты надо через интересующую нас точку провести линию того изопроцесса, чей неизменный параметр отсутствует на осях графика, до пересечения с прямой P = P 0 или V = V 0 . Тогда вторая координата точки пересечения даст нам геометрическое значение искомой координаты.

Выбор P 0 , V 0 и T 0 влияет на величину получающихся графиков. Из рис. 3а видно, что если P A > P 0 , то геометрическое значение T A больше геометрического значения V A , то есть графики в осях PT и VT получатся более растянутыми. Если P A < P 0 , то всё наоборот. Из рис. 3б и 3в видно, что если P A > P 0 (V A > V 0), то геометрическое значение V A (P A) получится меньше геометрического значения T A , то есть график в осях PV получается сжатым по оси V (P). Если же P A < P 0 , то всё наоборот. Исходя из этого, можно выбирать P 0 (V 0) таким образом, чтобы получающиеся графики укладывались в заранее определенные рамки. Это легко сделать, так как всегда известно, в какой точке исходного графика недостающий параметр имеет наибольшее значение. Следует провести через нее соответствующую изолинию и выбрать P 0 или V 0 так, чтобы точка пересечения прямой P = P 0 или V = V 0 имела абсциссу нужной нам величины.

Чтобы предложенный алгоритм работал, необходимо правильно строить исходный график в осях PV: конечные точки изотермы должны принадлежать одной гиперболе, что легко сделать, опираясь на алгоритм построения гиперболы.

Существует еще один класс графических задач – сравнение параметров, отсутствующих на осях графика для разных его точек. Для этого через эти точки проводятся соответствующие изолинии, что и позволяет сделать вывод, где соответствующий параметр больше.

До сих пор проблемы возникали для изотерм, так как не всегда было ясно, изотерма какой точки пойдет выше (рис. 4а ). Теперь подобных затруднений нет (рис. 4б ) и видно, что температура состояния в точке В выше, чем температура состояния в точке А.

Работа в термодинамике, так же как и в механике, определяется произведени­ем действующей на рабочее тело силы на путь ее действия. Рассмотрим газ массой М и объемом V , заключенный в эластичную оболочку с поверхностью F (рисунок 2.1). Если газу сообщить некоторое количество теплоты, то он будет расширяться, совершая при этом работу против внешнего давления р , оказываемого на него средой. Газ дей­ствует на каждый элемент оболочки dF с силой, равной pdF и, перемещая ее по нормали к поверхности на расстояние dn , совершает элементарную работу pdFdn .

Рис. 2.1 – К определению работы расширения

Общую работу, совершенную в течение бесконечно малого процесса, получим, интегрируя данное выражение по всей поверхности F оболочки:

.

Из рисунок 2.1 видно, что изменение объема dV выражается в виде интеграла по поверхности: , следовательно

δL = pdV. (2.14)

При конечном изменении объема работа против сил внешнего давления, называе­мая работой расширения, равна

Из (2.14) следует, что δL и dV всегда имеют одинаковые знаки:

если dV > 0, то и δL > 0, т.е. при расширении работа тела положительна, при этом тело само совершает работу;

если же dV < 0, то и δL< 0, т. е. при сжатии работа тела отрицательна: это означает, что не тело совершает работу, а на его сжатие затрачивается работа извне.

Единицей измерения работы в СИ яв­ляется джоуль (Дж).

Отнеся работу расширения к 1 кг массы рабочего тела, получим

l = L/M; δl = δL/М = pdV/M = pd(V/M) = pdv. (2.16)

Величина l, представляющая собой удельную работу, совершаемую систе­мой, содержащей 1 кг газа, равна

Поскольку в общем случае р – вели­чина переменная, то интегрирование воз­можно лишь тогда, когда известен закон изменения давления p = p(v).

Формулы (2.14) – (2.16) справедливы только для равновесных процессов, при которых давление рабочего тела равно давлению окружающей среды.

В термодинамике для исследования равновесных процессов широко исполь­зуют рv – диаграмму, в которой осью аб­сцисс служит удельный объем, а осью ординат – давление. Поскольку состоя­ние термодинамической системы опреде­ляется двумя параметрами, то на рv – диаграмме оно изображается точкой. На рисунке 2.2 точка 1 соответствует начально­му состоянию системы, точка 2 – конеч­ному, а линия 12 – процессу расшире­ния рабочего тела от v 1 до v 2 .

При бесконечно малом изменении объема dv площадь заштрихованной вертикальной полоски равна pdv = δl, следовательно, работа процесса 12 изо­бражается площадью, ограниченной кри­вой процесса, осью абсцисс и крайними ординатами. Таким образом, работа из­менения объема эквивалентна площади под кривой процесса в диаграмме рv .

Рис. 2.2 – Графическое изображение работы в рv – координтах

Каждому пути перехода системы из состояния 1 в состояние 2 (например, 12, 1а2 или 1b2) соответствует своя работа расширения: l 1 b 2 >l 1 a 2 >l 12 Следова­тельно, работа зависит от характера термодинамического процесса, а не явля­ется функцией только исходного и ко­нечного состояний системы. С другой стороны, ∫pdv зависит от пути интегри­рования и, следовательно, элементарная работа δl не является полным диффе­ренциалом.

Работа всегда связана с перемеще­нием макроскопических тел в простран­стве, например перемещением поршня, деформацией оболочки, поэтому она ха­рактеризует упорядоченную (макрофизическую) форму передачи энергии от од­ного тела к другому и является мерой переданной энергии.

Поскольку величина δl пропорцио­нальна увеличению объема, то в качестве рабочих тел, предназначенных для пре­образования тепловой энергии в механи­ческую, целесообразно выбирать такие, которые обладают способностью значи­тельно увеличивать свой объем. Этим качеством обладают газы и пары жидко­стей. Поэтому, например, на тепловых электрических станциях рабочим телом служат пары воды, а в двигателях внут­реннего сгорания – газообразные про­дукты сгорания того или иного топлива.

2.4 Работа и теплота

Выше отмечалось, что при взаимодействии термодинамической системы с окружающей средой происходит обмен энергией, причем один из способов ее передачи – работа, а другой – теплота.

Хотя работа L и количество теплоты Q имеют размерность энергии, они не являются видами энергии. В отличие от энергии, которая является параметром состояния системы, работа и теплота зависят от пути перехода системы от одного состояния в другое. Они представляют две формы передачи энергии от одной системы (или тела) к другой.

В первом случае имеет место макрофизическая форма обмена энергией, которая обусловлена механическим воздействием одной системы на другую, сопровождаемым видимым перемещением дру­гого тела (например, поршня в цилиндре двигателя).

Во втором случае осуществлена микрофизическая (т.е. на моле­кулярном уровне) форма передачи энергии. Мера количества пе­реданной энергии – количество теплоты. Таким образом, работа и теплота – энергетические характеристики процессов механическо­го и теплового взаимодействия системы с окружающей средой. Эти два способа передачи энергии эквивалентны, что вытекает из зако­на сохранения энергии, но неравноценны. Работа может непосред­ственно преобразовываться в теплоту – одно тело передает при тепловом контакте энергию другому. Количество же теплоты Q непосредственно расходуется только на изменение внутренней, энергии системы. При превращении теплоты в работу от одного тела – источника теплоты (ИТ) теплота передается другому – рабо­чему телу (РТ), а от него энергия в виде работы передается третьему телу – объекту работы (ОР).

Следует подчеркнуть, что если мы записываем уравнение термодинамики, то входящие в уравнения L и Q означают энергию, полученную соответственно макро– или микрофизическим спосо­бом.